Question

已知拋物線y=ax²經(jīng)過點A（2，1）
（1）求這個函數(shù)的解析式；
（2）寫出拋物線上點A關(guān)于y軸的對稱點B的坐標；
（3）求△OAB的面積；
（4）拋物線上是否存在點C，使△ABC的面積等于△OAB面積的一半？若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²經(jīng)過點A（2，1），
∴4a=1，
解得a=，
∴這個函數(shù)的解析式為y=x²；

（2）∵點A（2，1），
∴點A關(guān)于y軸的對稱點B的坐標為（-2，1）；

（3）∵點A（2，1），B（-2，1），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
S_△OAB=×4×1=2；

（4）假設(shè)存在點C，且點C到AB的距離為h，
則S_△ABC=•AB•h=×4h，
∵△ABC的面積等于△OAB面積的一半，
∴×4h=×2，
解得h=，
①當點C在AB下面時，點C的縱坐標為1-=，
此時，x²=，
解得x₁=，x₂=-，
點C的坐標為（，）或（-，），
②點C在AB的上面時，點C的縱坐標為1+=，
此時x²=，
解得x₁=，x₂=-，
點C的坐標為（，）或（-，），
綜上所述，存在點C（，）或（-，）或（，）或（-，），使△ABC的面積等于△OAB面積的一半．
分析：（1）把點A的坐標代入拋物線解析式求解即可得到a的值，從而得解；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同解答；
（3）根據(jù)點A、B的坐標求出AB的長度，以及點O到AB的距離，然后利用三角形的面積公式列式進行計算即可求解；
（4）根據(jù)三角形的面積公式求出點C到AB的距離，再分①點C在AB下面，②點C在AB的上面兩種情況求出點C的縱坐標，然后代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點C的坐標．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，關(guān)于y軸對稱點的坐標特點，三角形的面積，以及二次函數(shù)的對稱性，（4）要注意分點C在AB的上面與下面兩種情況討論求解．