Question

已知一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5m，面積為1.5m²．小明爸爸要在木板上截出一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)小明和小芳設(shè)計(jì)加工方案，小明的設(shè)計(jì)方案如圖①，小芳的設(shè)計(jì)方案如圖②．你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案符合要求？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：利用三角形的面積求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，圖①根據(jù)相似三角形△CDE和△CBA對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；圖②，先求出點(diǎn)B到AC邊的距離，再根據(jù)相似三角形△ABC和△DBE對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式求解即可．

解答：解：小明的設(shè)計(jì)方案符合要求．
理由如下：S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×1.5•BC=1.5，
解得BC=2，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

1.52+22

=2.5，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，
如圖①，∵正方形BFDE的邊DE∥BF，
∴△CDE∽△CBA，
∴

CD

BC

=

DE

AB

，
即

2-x

2

=

x

1.5

，
解得x=

6

7

；
如圖②，設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為h，
則S_△ABC=

1

2

×2.5h=1.5，
解得h=1.2，
∵正方形BFDE的邊DE∥GF，
∴△ABC∽△DBE，

h-x

h

=

DE

AC

，
即

1.2-x

1.2

=

x

2.5

，
解得x=

30

37

，
∵

30

37

m＜

6

7

m，
∴小明的設(shè)計(jì)方案符合要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．