Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線y=

5

4

x與AB交于點C，與過點A且平行于y軸的直線交于點D．點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動．過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為t（秒）．
（1）求點C的坐標．
（2）當0＜t＜5時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）求（2）中S的最大值．
（4）當t＞0時，直接寫出點（4，

9

2

）在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍．
參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．

Answer 1

分析：（1）簡單求兩直線的交點，得點C的坐標；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系把s用t表示，注意當MN在AD上時，這一特殊情況．
（3）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；
（4）求定點在正方形PQMN內(nèi)部時，t的范圍，點E在x軸上運動，要用到分類討論．

解答：解：（1）由題意，得

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

，
解得

x=3 y= 15 4

，
∴C（3，

15

4

）．

（2）根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t．
∴點Q的縱坐標為

5

4

（8-t），點P的縱坐標為-

3

4

（8-t）+6=

3

4

t，
∴PQ=

5

4

（8-t）-

3

4

t=10-2t．
當MN在AD上時，10-2t=t，
∴t=

10

3

．
當0＜t≤

10

3

時，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t．
當

10

3

＜t＜5時，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100．

（3）當0＜t≤

10

3

時，S=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴t=

5

2

時，S最大值=

25

2

．
當

10

3

≤t＜5時，S=4（t-5）²，
∵t＜5時，S隨t的增大而減小，
∴t=

10

3

時，S最大值=

100

9

．
∵

25

2

＞

100

9

，
∴S的最大值為

25

2

．

（4）當t=5時，PQ=0，P，Q，C三點重合；
當t＜5時，知OE=4時是臨界條件，即8-t=4
即t=4
∴點Q的縱坐標為5＞

9

2

，
點（4，

9

2

）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動，則點（4，

9

2

）進入正方形內(nèi)部，但點Q的縱坐標再減少，當Q點的縱坐標為

9

2

時，OE=

18

5

∴8-t=

18

5

即t=

22

5

，
此時OE+PN=

18

5

+PQ=

18

5

+（10-2t）=

24

5

＞4滿足條件，
∴4＜t＜

22

5

，
當t＞5時，由圖和條件知，則有E（t-8，0），PQ=2t-10要滿足點（4，

9

2

）在正方形的內(nèi)部，
則臨界條件N點橫坐標為4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此時Q點的縱坐標為：-

3

4

×2+6=

9

2

．滿足條件，
∴t＞6．
綜上所述：4＜t＜

22

5

或t＞6．

點評：此題前三問簡單，考查函數(shù)基本性質(zhì)，求函數(shù)最值問題，第四問考查動點問題，求t的范圍，觀察圖形，搞清幾何坐標，理清思路，又運用分類討論思想．