Question

10．如圖，已知直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以$\sqrt{2}$個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是直角三角形？
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，當(dāng)△BOP與△MBQ相似時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）先求出∠QAP=45°，再分兩種情況用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可；
（3）先判斷出四邊形PEFQ是平行四邊形，對(duì)邊相等建立方程求解即可；
（4）先求出MB=$\sqrt{2}$，然后分兩種情況用相似三角形得到比例式，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
將A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-x²+2x+3，
（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°． 
如圖①所示：

∠PQA=90°時(shí)，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t． 
在Rt△PQA中，cos∠QAP$\frac{QA}{PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=1； 
如圖②所示：

∠QPA=90°時(shí)，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．  
在Rt△PQA中，cos∠QAP=$\frac{PA}{QA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$． 
綜上所述，當(dāng)t=1或t=$\frac{3}{2}$時(shí)，△PQA是直角三角形； 
（3）如圖③所示：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，-t+3），
則EP=3-t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3-t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），
則FQ=3t-t²． 
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四邊形PEFQ是平行四邊形，
∴EP=FQ．即：3-t=3t-t²． 
解得：t₁=1，t₂=3（舍去）． 
將t=1代入F（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），
得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）． 
（4）如圖④所示：

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP=t，BQ=（3-t）$\sqrt{2}$． 
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）． 
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$． 
當(dāng)△BOP∽△QBM時(shí)，$\frac{MB}{OP}=\frac{BQ}{OB}$，
即：$\frac{\sqrt{2}}{t}=\frac{（3-t）\sqrt{2}}{3}$，
整理得：t²-3t+3=0，
△=32-4×1×3＜0，無(wú)解：
當(dāng)△BOP∽△MBQ時(shí)，$\frac{BM}{OB}=\frac{BQ}{OP}$，
即：$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{（3-t）\sqrt{2}}{t}$，
解得t=$\frac{3}{4}$． 
∴當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時(shí)，以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是建立方程求解．