Question

已知如圖經(jīng)過(guò)A（-4，0）、B（1，0）、C（0，-2）的拋物線在x軸（包括x軸）下方部分的圖象，P是該圖象上一點(diǎn)，若S_△PAC=4，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后求出△AOC的面積是4，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知過(guò)點(diǎn)O（0，0）與（0，-4）且與AC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再求出點(diǎn)P所在的直線的解析式，與拋物線聯(lián)立求解，再利用根的判別式解答即可得到點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
所以拋物線的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∵S_△AOC=

1

2

OA•OC=

1

2

×4×2=4，
∴過(guò)點(diǎn)O（0，0）與（0，-4）且與AC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
①如圖，過(guò)點(diǎn)O（0，0）與AC平行的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，
②∵A（-4，0），C（0，-2），
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x-2，
∴過(guò)點(diǎn)（0，-4）與AC平行的直線的解析式為y=-

1

2

x-4，
聯(lián)立

y=- 1 2 x-4 y= 1 2 x2+ 3 2 x-2

，
消掉y得，

1

2

x²+

3

2

x-2=-

1

2

x-4，
整理得，x²+4x+4=0，
△=b²-4ac=4²-4×1×4=0，
所以，只有一個(gè)交點(diǎn)P，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)，平行線間的距離相等的性質(zhì)．