Question

【題目】如圖，等邊三角形中，，點D是延長線上一點，且，點E在直線上，當時，的長為_____.

Answer 1

【答案】2或.

【解析】

分①在線段AC上，②在線段AC的延長線上兩種情況討論.對于①作EF//AB與BC相交于F，證明△DFE∽△ABD，利用相似三角形對應邊相等可求得EC，即也可求得AE；對于②作EF//AB與BC的延長線交于F，證明△DCE∽△ABD，利用相似三角形對應邊相等可求得EC，即也可求得AE.

解：E點的位置有兩種可能，①在線段AC上，②在線段AC的延長線上. E不可能在CA的延長線上（因為若E在CA的延長線上由①可知不可能等于）.

①若E在線段AC上，如圖作EF//AB與BC相交于F，

∵為等邊三角形，，

∴AC=BC=AB=3，，

∴∠ABD=120°，

∵EF//AB，

∴，

∴△EFC為等邊三角形，∠EFD=120°，設EF=FC=EC=x.

∵，∠ABD=∠EFD=120°，

∴△DFE∽△ABD，

∴

∵，

∴

∴，解得

∴EF=FC=EC=1，

∴AE=AC-EC=3-1=2；

②若E點在線段AC的延長線上，作EF//AB與BC的延長線交于F.

與①同理可證△EFC為等邊三角形，∠ECD=120°，設EF=FC=EC=x.

∵，∠ABD=∠ECD=120°，

∴△DCE∽△ABD，

∴，

∵，

∴BD=BC+BD=4，

∴，解得，

∴EF=FC=EC=，

，

故答案為：2或.