Question

19．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC交AC于E，則線段BD與CE有何數(shù)量關(guān)系？
拓展探究：如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°），上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請就圖中給出的情況加以證明．
問題解決：如果△ABC的邊長等于2$\sqrt{3}$，AD=2，直接寫出當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)BD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由平行線分線段成比例定理可得：BD=CE；
（2）如圖2，證明△BAD≌△CAE，得BD=CE；
（3）分兩種情況：①如圖3，在直角三角形中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DG=1，由勾股定理求出AG=$\sqrt{3}$，得出BG，從而計(jì)算出BD的長．
②如圖4，求EF的長和CF的長，根據(jù)勾股定理在Rt△EFC中求EC的長，所以BD=EC=2$\sqrt{7}$．

解答 解：（1）如圖1，BD=CE，理由是：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}$，
∴BD=CE；
（2）結(jié)論仍然成立，如圖2，
由圖1得，△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，
由旋轉(zhuǎn)得：∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE；
（3）當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)，有兩種情況：
①如圖3，∵△ADE是等邊三角形，AF⊥DE，
∴∠DAF=∠EAF=30°，
∴∠BAD=30°，
過D作DG⊥AB，垂足為G，
∵AD=2，
∴DG=1，AG=$\sqrt{3}$，
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴BG=AB-AG=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{B{G}^{2}+G{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
②如圖4，同理得：△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=60°，
∵AD=AE，DE⊥AC，
∴∠EAF=∠FAD=30°，
∴EF=FD=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴CF=AC+CF=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△EFC中，EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{28}$=4$\sqrt{7}$，
∴BD=EC=2$\sqrt{7}$，
綜上所述，BD的長為2和2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題是幾何變換的綜合題，考查了等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定；在幾何證明中，如果出現(xiàn)等邊三角形，它所得出的結(jié)論比較多，要準(zhǔn)確把握需要利用哪些結(jié)論進(jìn)行證明；此類題的解題思路為：證明兩個(gè)三角形全等或利用勾股定理求邊長；如果有平行的關(guān)系，可以考慮利用平行相似來證明．