Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，-1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．
（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求b，c的值；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．
①點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M，P，Q三點為頂點的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求點M的坐標；
②取BC的中點N，連接NP，BQ．當

PQ

NP+BQ

取最大值時，點Q的坐標為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）①首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續(xù)計算的基礎．
若△MPQ為等腰直角三角形，因為PQ為直角邊，所以點M到PQ的距離為2

2

．此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x-5）與拋物線的交點，即為所求之M點；
②由①可知，PQ=為定值，因此當NP+BQ取最小值時，有最大值．如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，進而求出點Q的坐標．

解答：解：（1）由題意，得點B的坐標為（4，-1）
∵拋物線過點A（0，-1），B（4，-1）兩點，

-1=c -1=- 1 2 ×42+4b+c

，
解得：

b=2 c=-1

；

（2）由（1）得 y=-

1

2

x2+2x-1．
①∵A的坐標為（0，-1），C的坐標為（4，3）．
∴直線AC的解析式為：y=x-1．
設平移前的拋物線的頂點為P₀，可得P₀（2，1），且P₀在直線AC上．
∴AP0=2

2

，
∵點P在直線AC上滑動，且與直線AC交于另一點Q．
∴PQ=AP₀=2

2

，
∵PQ為直角邊，M到PQ的距離為2

2

（即為PQ的長）．
由A（0，-1），B（4，-1），P₀（2，1）可知：
△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=2

2

．
過點B作直線l₁∥AC，直線l₁與拋物線y=-

1

2

x²+2x-1的交點即為符合條件的點M．
∴可設直線l₁的解析式為：y=x+b₁．
又∵點B的坐標為（4，-1），
∴-1=4+b₁．解得b₁=-5．
∴直線l₁的解析式為：y=x-5．
解方程組

y=x-5 y=- 1 2 x2+2x-1

，
解得：

x=4 y=-1

或

x=-2 y=-7

，
∴M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：
M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
②取點B關于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q．
連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′
∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，則

PQ

NP+BQ

取最大值，
∴點Q的坐標為(

4

3

，

1

3

)，
故答案為：(

4

3

，

1

3

)．

點評：本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換（平移，對稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對稱-最短路線問題等知識點，考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學思想，試題難度較大．