Question

（2012•青羊區(qū)一模）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B．延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若BC=2OC，求sinE的值．

Answer 1

分析：（1）要證PB是⊙O的切線，只要連接OA，再證∠PBO=90°即可；
（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到

EA

EP

=

AD

OP

，設(shè)OC=t，則BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

解答：（1）證明：連接OA
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中

PB=PA OP=OP OB=OA

，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB為⊙O的切線；

（2）解：連接AD，
∵BD是直徑，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴

EA

EP

=

AD

OP

，由AD∥OC得AD=2OC，
∵BC=2OC，設(shè)OC=t，則BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴PC=2BC=4t，OP=5t．
∴

EA

EP

=

AD

OP

=

2

5

，可設(shè)EA=2m，EP=5m，則PA=3m．
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE=

PB

EP

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵要證某線是圓的切線，對(duì)于切線的判定：已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．