Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，P是斜邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，D為BC上的一點(diǎn)，且PB＝PD，DE⊥AC于E．(1)求證：PE＝BO；(2)設(shè)AC＝2a，AP＝x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AC中點(diǎn)，∴BO⊥AC，BO＝CO＝AC，∴∠C＝∠OBC＝45°，又∵DE⊥AC，BO⊥AC，∴BO∥DE，又∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB，∠PBO＝∠PBD－∠OBC＝∠PDB－∠C＝∠DPE，∴Rt△PBO≌Rt△DPE，∴PE＝BO;(2)∵AC＝2a，AP＝x，∴AO＝BO＝PE＝a，∴DE＝PO＝EC＝a－x，EO＝x，∴y＝S△PBO＋S梯BDEO＝a(a－x)＋(2a－x)·x＝－x2＋ax＋a2　∴0＜x＜a