Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過點O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求證：ED為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，ED=4，EO的延長線交⊙O于F，連DF、AF，求△ADF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ADF的面積是．

【解析】試題分析：（1）連接OD，CD，求出∠BDC=90°，根據OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根據SSS證△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）過O作OM⊥AB于M，過F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根據sin∠BAC＝，求出OM，根據cos∠BAC＝，求出AM，根據垂徑定理求出AD，代入三角形的面積公式求出即可．

試題解析：

（1）證明：連接OD，CD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠CDA=90°=∠BDC，

∵OE∥AB，CO=AO，

∴BE=CE，

∴DE=CE，

∵在△ECO和△EDO中

，

∴△ECO≌△EDO，

∴∠EDO=∠ACB=90°，

即OD⊥DE，OD過圓心O，

∴ED為⊙O的切線．

（2）過O作OM⊥AB于M，過F作FN⊥AB于N，

則OM∥FN，∠OMN=90°，

∵OE∥AB，

∴四邊形OMFN是矩形，

∴FN=OM，

∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，

∴AC=2OC=6，

∵OE∥AB，

∴△OEC∽△ABC，

∴，

∴，

∴AB=10，

在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，

sin∠BAC=，

即 ，

OM==FN，

∵cos∠BAC=，

∴AM=

由垂徑定理得：AD=2AM=，

即△ADF的面積是AD×FN=××=．

答：△ADF的面積是．