Question

12．如圖，一次函數(shù)y=-2x-2的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)M，△OBM的面積是1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A，M是以AM為直角邊的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令y=-2x-2中x、y=0求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△OBM的面積是1求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，將其代入一次函數(shù)解析式中求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）找出點(diǎn)P并過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，分∠BMP₁=90°和∠BAP₂=90°兩種情況考慮，利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出BP₁、BP₂的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=0，y=-2x-2=-2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2）；
令y=-2x-2=0，解得：x=-1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
∵S_△OBM=$\frac{1}{2}$OB•y_M=$\frac{1}{2}$y_M=1，
∴y_M=2，
當(dāng)y=-2x-2=2時(shí)，x=-2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，2）．
∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象上，
∴m=-2×2=-4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{4}{x}$．
（2）依照題意找出點(diǎn)P并過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖所示．
當(dāng)∠BMP₁=90°時(shí)，∵∠BMP₁=∠BCM，∠MBP₁=∠CBM，
∴△BMP₁∽△BCM，
∴$\frac{BC}{BM}=\frac{BM}{B{P}_{1}}$．
∵點(diǎn)B（-1，0），點(diǎn)M（-2，2），
∴點(diǎn)C（-2，0），
∴BC=1，BM=$\sqrt{5}$，
∴BP₁=5，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-6，0）；
當(dāng)∠BAP₂=90°時(shí)，同理可由△BAP₂∽△BCM求出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（4，0）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，0）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊之間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．