Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝ ，AB＝6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF＝120°．

(1)當點E是AB的中點時，線段DF的長度是　6��；

(2)若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是　2或5�。�

Answer 1

考點：    直角梯形；勾股定理；解直角三角形。

專題：    探究型。

分析：    (1)過E點作EG⊥DF，由E是AB的中點，得出DG＝3，再根據(jù)∠DEG＝60°得出∠DEF＝120°，由tan60°＝ 即可求出GF的長，進而得出結論；

(2)過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH＝AD＝ ，再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長，設AE＝x，則BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的長，再判斷出△EDF∽△BCE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出關于x的方程，求出x的值即可．

解答：    解：(1)如圖1，過E點作EG⊥DF，

∵E是AB的中點，

∴DG＝3，

∴EG＝A D＝ ，

∴∠DEG＝60°，

∵∠DEF＝120°，

∴tan60°＝ ，

解得GF＝3，

∴DF＝6；21世紀教育網(wǎng)

(2)如圖2所示：

過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F，則BH＝AD＝ ，

∵∠ABC＝120°，AB∥CD，

∴∠BCH＝60°，

∴CH＝ ＝ ＝1，BC＝ ＝ ＝2，

設AE＝x，則BE＝6－x，

在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝ ，

在Rt△EFM中，EF＝ ＝ ＝ ，

∵AB∥CD，

∴∠EFD＝∠BEC，

∵∠DEF＝∠B＝120°，

∴△EDF∽△BCE，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

解得x＝2或5．

故答案為：2或5．

點評：    本題考查了解直角梯形及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值等，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解．