Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x。 （1）當x的值為 _________ 時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形； （2）當x的值為 _________ 時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形； （3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由。

Answer 1

解： （1）如圖，分別過A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N， ∵AM=DN，AD=MN=5，而CD=，∠C=45°， ∴DN=CN=CDsin∠C=4x=4=AM， ∴BM=CB﹣CN﹣MN=3， 若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPB=90°，當∠APC=90°時， ∵P與M重合， ∴BP=BM=3； 當∠DPB=90°時， ∴P與N重合， ∴BP=BN=8； 故當x的值為3或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形； （2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況： ①當P在E的左邊， ∵E是BC的中點， ∴BE=6， ∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1； ②當P在E的右邊，BP=BE+PE=6+5=11；故當x的值為1或11時， 以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形； （3）由（2）知，當BP'=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形 ∴EP=AD=5，過D作DN⊥BC于N， ∵CD=，∠C=45°， 則DN=CN=4， ∴NP'=BP'﹣BN=BP'﹣（BC﹣CN）=11﹣12+4=3． ∴DP'===5， ∴EP'=DP'，故此時□P'DAE是菱形。 即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形。