Question

如圖，已知△ABC中，∠BAC=90゜，AB=AC，點P為BC邊上一動點（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求證：EF=CF-BE．
（2）若點P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）證明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB=∠AFC=90°．
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE-AF，
∴EF=CF-BE；
（2）EF=BE+CF
理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB=∠AFC=90°．
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=BE+CF．
分析：（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根據(jù)∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出結(jié)論；
（2）如圖2，同樣由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根據(jù)∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出結(jié)論EF=BE+CF．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用．解答時證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．