Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．

（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=-x²-2x+3，（-1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由見解析；（3）存在，p₁（0，0）、p₂（0，）、p₃（-9，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c

由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax²+bx+3．

把點A（1，0）、點B（-3，0）代入，得

解得a=-1，b=-2

∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4

∴頂點D的坐標為（-1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．理由如下：

解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC²=OB²+OC²=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，

∴CD²=DF²+CF²=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴BD²=DE²+BE²=20

∴BC²+CD²=BD²

∴△BCD為直角三角形．

解法二：過點D作DF⊥y軸于點F．

在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3

∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1

∴DF=CF

∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°

∴△BCD為直角三角形．

（3）①△BCD的三邊，，又，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC；

②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=3﹣a，，即，解得：a=﹣9，則P的坐標是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；

③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=3﹣b，則，即，解得：b=，故P是（0，）時，則△ACP∽△CBD一定成立；

④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（d，0）．

則AP=1﹣d，當AC與CD是對應邊時，，即，解得：d=1﹣3，此時，兩個三角形不相似；

⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（e，0）．

則AP=1﹣e，當AC與DC是對應邊時，，即，解得：e=﹣9，符合條件．

總之，符合條件的點P的坐標為：p₁（0，0）、p₂（0，）、p₃（-9，0）．

考點: 二次函數(shù)綜合題．