Question

9．如圖，點(diǎn)P為直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，PB=2，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)C，且AC=BC．
（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)kx+b-$\frac{m}{x}$＞0時，根據(jù)圖象直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）若D為雙曲線上一點(diǎn)，且滿足四邊形BCPD為菱形，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三線合一得到O為AB中點(diǎn)，求出OB的長，確定出B坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，將P與A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；
（2）根據(jù)圖象可得，當(dāng)kx+b-$\frac{m}{x}$＞0時，x恒大于4；
（3）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，由一次函數(shù)解析式求出C坐標(biāo)，得出直線BC斜率，求出過P且與BC平行的直線PD解析式，與反比例解析式聯(lián)立求出D坐標(biāo)，檢驗得到四邊形BCPD為菱形，符合題意．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0），
∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
將A（-4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{4}$，b=1，
∴一次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{4}$x+1，
將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（2）根據(jù)圖象可得，當(dāng)kx+b-$\frac{m}{x}$＞0時，
即kx+b＞$\frac{m}{x}$，此時x＞4；

（3）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，
對于一次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1，即C（0，1），
∴直線BC的斜率為$\frac{0-1}{4-0}$=-$\frac{1}{4}$，
設(shè)過點(diǎn)P，且與BC平行的直線解析式為y-2=-$\frac{1}{4}$（x-4），即y=$\frac{-x+12}{4}$，
與反比例解析式聯(lián)立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{-x+12}{4}}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：$\frac{-x+12}{4}$=$\frac{8}{x}$，
整理得：x²-12x+32=0，即（x-4）（x-8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
當(dāng)x=8時，y=1，
∴D（8，1），
此時PD=$\sqrt{（4-8）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，BC=$\sqrt{（4-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四邊形BCPD為平行四邊形，
∵PC=$\sqrt{（4-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{17}$，即PC=BC，
∴四邊形BCPD為菱形，滿足題意，
則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時D坐標(biāo)為（8，1）．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵，難度較大．