Question

如圖3，在三棱柱中，底面△ABC是邊長為2的

等邊三角形，D為AB的中點。

（Ⅰ）求證：//平面

（Ⅱ）若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

（I)證法1：連結(jié)AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點E，連接DE，

則E為AC₁中點，

∵D為AB的中點，∴DE∥BC₁，

∵BC₁平面A₁CD，DE平面A₁CD，

∴BC₁∥平面A₁CD. -

【證法2：取中點，連結(jié)和，

∵平行且等于  ∴四邊形為平行四邊形

∴  ∵平面，平面

∴平面,分

同理可得平面

∵   ∴平面平面

又∵平面

∴BC₁∥平面A₁CD.

(II)

   

又    ，

又      面法一：設(shè)BC的中點為O，的中點為，以O(shè)為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.------------------9分

則，.

∴--------------------10分

平面的一個法向量

所以直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值為-------------------------------12分

【法二：取的中點，連結(jié)，則-------------------------------7分

∵面，故,

,面------9分

延長、相交于點，連結(jié)，

則為直線與平面所成的角. ------------------------------------10分

因為為的中點，故，又

即直線與平面所成的角的正弦值為.------------------------------12分】

【法三：取的中點，連結(jié)，則-------------------------------7分

∵面，故,

,平面------------------------------------------9分

取中點M，連結(jié)BM，過點M作，則平面，

連結(jié)BN，∵,

∴為直線與平面所成的角，---10分

∵,

即直線與平面所成的角的正弦值為.------------------------------12分】