Question

（2014•靜安區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-2x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移5個(gè)單位后的頂點(diǎn)設(shè)為C，直線BC與x軸相交于點(diǎn)D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)OC，試探究直線AB與OC的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算求出b、c的值，即可得解；
（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求出與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解；
（3）方法一：求出

BD

BC

=

AD

AO

，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理解答；
方法二：過點(diǎn)C作CP⊥x軸于P，分別求出∠BAO和∠COP的正切值，根據(jù)正切值相等求出∠BAO=∠COP，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答．

解答：解：（1）由題意得，

-2×9-3b+c=0 c=6

，
解得

b=-4 c=6

，
所以，此二次函數(shù)的解析式為y=-2x²-4x+6；

（2）∵y=-2x²-4x+6=-2（x+1）²+8，
∴函數(shù)y=2x²-4x+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，8），
∴向右平移5個(gè)單位的后的頂點(diǎn)C（4，8），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=6 4k+b=8

，
解得

k= 1 2 b=6

，
所以，直線BC的解析式為y=

1

2

x+6，
令y=0，則

1

2

x+6=0，
解得x=-12，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-12，0），
過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD=

OB2+OD2

=

62+122

=6

5

，
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴

AH

OB

=

AD

BD

，
即

AH

6

=

9

6 5

，
解得AH=

9 5

5

，
∵AB=

OA2+OB2

=

32+62

=3

5

，
∴sin∠ABD=

AH

AB

=

9 5 5

3 5

=

3

5

；

（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD=6

5

，BC=

(4-0)2+(8-6)2

=2

5

，AD=9，AO=3，
∴

BD

BC

=

AD

AO

=3，
∴AB∥OC；
方法二：過點(diǎn)C作CP⊥x軸于P，
由題意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP=

CP

OP

=

8

4

=2，
tan∠BAO=

OB

OA

=

6

3

=2，
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．