Question

如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、C，經(jīng)過A、C兩點的拋物線與x軸的負(fù)半軸上另一交點為B，且tan∠CBO=3．

（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點D的坐標(biāo)；

（2）若點P是射線BD上一點，且以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1），D（-2，-1）（2）P的坐標(biāo)為（）或（）．

【解析】

試題分析：（1）由直線可求得A、C的坐標(biāo)，再由tan∠CBO=3，可求得B的坐標(biāo)，用交點式可以求出拋物線解析式，通過配方即可求出頂點D的坐標(biāo)；

（2）過D作DE⊥AB于E，可以得到∠CAO=∠ABD=45°，直線BD的方程為：，表示出PB的長，因為有一對角相等，所以只需要夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例，即可得到三角形相似，所以有兩種情況：和，分別求出PB，再求出P的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）連結(jié)BC，由直線知，點A（-3，0）、C（0，3）；∴OC=3，∵tan∠CBO=3，∴OB=1，∴B（-1，0）；設(shè)，把C（0，3）代入得：，解得：，∴，∵，∴頂點D（）；

（2）過D作DE⊥AB于E，∵D （），B（-1，0），∴DE=1，BE=1，∴∠ABD=45°，∵A（-3，0）、C（0，3），∴OA=OC=3，∴∠CAO=45°，AO=CO=3，∴AC=，∴∠CAO=∠ABD．設(shè)直線BD為，把D （），B（-1，0）代入得：，解得：，∴直線BD為．

∵點P在射線BD上，∴設(shè)P（）且，則PB=，∵，∴PB=，∵∠CAO=∠ABD，∴有以下兩種情況，可以使以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似：

①當(dāng)時，即，解得：，∴，∴P（）；

②當(dāng)時，即，解得：，∴，∴P（）；

∴點P的坐標(biāo)為（）或（）．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．代數(shù)幾何綜合題．