Question

如圖，在□OABC 中，點A 在x 軸上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，動點P從點O出發(fā)，以1cm ／s 的速度沿線段OA→AB 運動；動點Q同時從點O出發(fā)，以acm ／s 的速度沿線段OC →CB 運動，其中一點先到達終點B 時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t 秒。
(1) 填空：點C 的坐標是(______ ，______) ，對角線OB 的長度是_______cm ；
(2) 當a=1 時，設(shè)△OPQ 的面積為S ，求S 與t 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當t 為何值時，S 的值最大?        
(3) 當點P 在OA 邊上，點Q 在CB 邊上時，線段PQ 與對角線OB 交于點M. 若以O(shè) 、M 、P為頂點的三角形與△OAB 相似，求a 與t 的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t 的取值范圍．

Answer 1

解：(1)C(2 ，2)，OB=4cm．

(2)①當0<t≤4時，          
過點Q作QD⊥x軸于點D(如圖1)，則QD=t．          
∴S=OP·QD=t². ②當4 ≤t ≤8 時，              
作QE ⊥x 軸于點E( 如圖2) ，則QE=2.            
∴S =DP·QE=t．

③當8 ≤t<12 時，  
解法一：延長QP 交x 軸于點F ，過點P 作PH ⊥AF 于點H( 如圖3) ．  
易證△PBQ 與△PAF 均為等邊三角形，
∴OF=OA+AP=t,AP=t-8 ．
∴PH=(t-8).
∴S=S△OQF-S△OPF
     =t·2-t·(t-8)
      =-t²+3t．   
 當t=8時，S最大．

解法二：過點P 作PH ⊥x 軸于點H( 如圖3) ．   易證△PBQ 為等邊三角形．  
∵AP=t-8 ．  
∴PH=(t-8)．
∴S=S_OABQ-S_△PBQ- S_△OAP     
=(20-t)- (12-t)²-2(t-8)．
=-t²+3t．   
當t=8時，S最大．
(3)①當△OPM∽△OAB時(如圖4)，則PQ∥AB．  
∴CQ=OP．  
∴at-4=t，a=1+. 
t的取值范圍是0<t≤8．

圖4
②當△OPM ∽△OBA 時( 如圖5) ，    
則，  
  ∴,    
∴OM=．
又∵QB∥OP，   
 ∴△BQM∽△OPM，    
∴,
∴,    
整理得t-at=2，
∴a=1-.
t的取值范圍是6≤t≤8．        
綜上所述：a=1+(0<t≤8)或a=1-(6≤t≤8)．