Question

如圖，△ABC的周長為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A′、B′、C′分別為EF、EG、GF的中點(diǎn)，△A′B′C′的周長為

16

．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分別為第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個(gè)三角形的周長是

64×（

1

2

）^n-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，可以判斷EF、FG、EG為三角形中位線，利用中位線定理求出EF、FG、EG與BC、AB、CA的長度關(guān)系即可求得△EFG的周長是△ABC周長的一半，△A′B′C′的周長是△EFG的周長的一半，以此類推，可以求得第n個(gè)三角形的周長．

解答：解：∵如圖，△ABC的周長為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF、FG、EG為三角形中位線，
∴EF=

1

2

BC，EG=

1

2

AC，F(xiàn)G=

1

2

AB，
∴EF+FG+EG=

1

2

（BC+AC+AB），即△EFG的周長是△ABC周長的一半．
同理，△A′B′C′的周長是△EFG的周長的一半，即△A′B′C′的周長為

1

4

×64=16．
以此類推，第n個(gè)小三角形的周長是第一個(gè)三角形周長的64×（

1

2

）^n-1．
故答案是：64×（

1

2

）^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理．此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．