Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點(diǎn) D，且BD=8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD 于點(diǎn)F．連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜5）。
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S_{四邊形PQCM}=S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）連接PC，是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）假設(shè)四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC， ∴AP=AM ∴10-2t=2t， 解得。 ∴當(dāng)時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形；
（2）過(guò)P作PE⊥AC，交AC于E， ∵ PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ是等腰三角形， ∴PQ=PB=t， ∴， ∴FD=BD-BF=8-， 又∵M(jìn)C=AC-AN=10-2t， ∴， ∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
（3）∵S△ABC=， ∴當(dāng)時(shí)，， 即， 解得，（舍去）， ∴當(dāng)時(shí)，S四邊形PQCM=S△ABC；
（4）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC， 過(guò)M作MH⊥AB，交AB于H， 則△AHM∽△ADB， ∴， 又， ∴， ∴， 在Rt△HMP中，， 又∵， 由得， 解得：（舍去）， ∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上。