Question

（2013•高要市二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求證：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根據(jù)AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根據(jù)這三個(gè)條件即可證明全等；
（2）根據(jù)已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分別在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的長(zhǎng)度，即可求出周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△AED和△CFB中，

AD=BC ∠ADE=∠CBF ∠AED=∠CFB

，
∴△AED≌△CFB （AAS）；

（2）解：在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，AE=3，
∴AD=2AE=2×3=6，
∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30°
∴∠ABE=45°，
在Rt△ABE中，
∵

AE

AB

=sin45°，
∴AB=

AE

sin45°

=3

2

，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)l=2（AB+AD）=2×（6+3

2

）=12+6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)相等的邊和角證明全等以及在直角三角形中運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)．