Question

如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E在BD的延長線上，BA•BD=BC•BE．
（1）求證：AE=AD；
（2）如果點F在BD上，CF=CD，求證：BD²=BE•BF．

Answer 1

證明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴=，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴180°-∠CDF=180°-∠CFD，
即∠BDA=∠BFC，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△BDA∽△BFC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴BD²=BE•BF．
分析：（1）先把乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，再根據(jù)BD平分∠ABC得∠ABE=∠CBD，然后證明△ABE與△CBD相似，根據(jù)相似三角形對應角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到∠ADE=∠AED，再利用等角對等邊的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)CF=CD，利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠CDF=∠CFD，再利用等角的補角相等得到∠BDA=∠BFC，然后證明△BDA與△BFC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例有=，再與=聯(lián)立可得=，然后把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把乘積式轉(zhuǎn)化為比例式是證明三角形相似的關(guān)鍵，（2）中證明比例式通常都是通過相似三角形對應邊成比例列出比例式然后再把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，也是常用的方法，需要熟練掌握并靈活運用．