Question

9．設p、q為不相等的正整數，且關于x的方程x²-px+q=0和x²-qx+p=0的根都是正整數，則|p-q|=1．

Answer 1

分析 根據題意設方程x²-px+q=0的兩個整數根分別為x₁、x₂且x₁≤x₂，方程x²-qx+p=0的兩個整數根分別為x₃、x₄且x₃≤x₄，因為p、q、x₁、x₂、x₃、x₄都是正整數，由（x₁-1）（x₂-1）+（x₃-1）（x₄-1）=2可以得出三種情形，分別討論即可得到答案．

解答 解：設方程x²-px+q=0的兩個整數根分別為x₁、x₂且x₁≤x₂，方程x²-qx+p=0的兩個整數根分別為x₃、x₄且x₃≤x₄，
則有：x₁+x₂=p，x₁x₂=q，x₃+x₄=q，x₃x₄=p，
∵p、q、x₁、x₂、x₃、x₄都是正整數，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（x₃-1）（x₄-1）=（q-p+1）+（p-q+1）=2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=0，（x₃-1）（x₄-1）=2，
或∴（x₁-1）（x₂-1）=1，（x₃-1）（x₄-1）=1，
或∴（x₁-1）（x₂-1）=2，（x₃-1）（x₄-1）=0，
由（x₁-1）（x₂-1）=0，（x₃-1）（x₄-1）=2得x₁=x₂=1，x₃=2，x₄=3，
∴p=6、q=5，
∴|p-q|=1
由（x₁-1）（x₂-1）=1，（x₃-1）（x₄-1）=1得x₁=x₂=x₃=x₄=2
∴p=q=4（不合題意舍棄）
由（x₁-1）（x₂-1）=2，（x₃-1）（x₄-1）=0得x₁=2，x₂=，3，x₃=x₄=1，
∴p=5、q=6，
∴|p-q|=1
綜上所述|p-q|=1
故答案為1．

點評 本題考查根與系數的關系、有關正整數根的概念、靈活求方程的整數解是解決這個題目的關鍵．