Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，直線CD：y=x+m與直線AB交于點E，E點的橫坐標(biāo)為．
（1）求m的值；
（2）點P（t，0）在x軸上，作線段PD的垂直平分線交直線DE于M，交x軸與點F，過點M作x軸的平行線交直線AB于點N，設(shè)線段MN的長為d，當(dāng)-6＜t＜8時，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，連接BP與BM，求當(dāng)t為何值時∠PBM=45°，并直接寫出此時點F的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點E在直線y=x+6上，且E點的橫坐標(biāo)為，
∴y=-+6=，即E（，）．
又∵點E也在直線y=x+m上，
∴=-×（-）+m，
解得m=4，即m的值為4；

（2）由直線CD：y=x+4知，D（8，0）．
∵點P（t，0），點F是線段PD的中點，
∴F（，0）．
又∵MF⊥PD，點M在直線CD上，
∴點M的橫坐標(biāo)與點F的橫坐標(biāo)都是，則y_M=•+4=．
∵MN∥x軸，且點N在直線y=x+6上，
∴y_N=y_M==x_N+6，
解得x_N=-6=，
∴MN=x_M-x_N=-=-t+8，即d=-t+8（-6＜t＜8）；

（3）如圖，連接BP、BM．P作PG垂直于AB于點G．設(shè)MN交y軸于點H．
∵y=x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴AG=PG=（t+6）．
∵∠PBM=45°，
∴∠GBP=∠FBM．
又∵∠BGP=∠BHM=90°，
∴△BPG∽△BMH，
∴=，即=，
解得t=0．
則點P與原點O重合，
∴OF=OD=4，
∴F（4，0）．
分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將點E的橫坐標(biāo)代入直線y=x+6中求得點E的縱坐標(biāo)；然后將點E的坐標(biāo)代入直線CD的解析式即可求得m的值；
（2）根據(jù)P點的坐標(biāo)表示出點F的坐標(biāo)，然后根據(jù)MN∥x軸表示出點M、N的坐標(biāo)，從而求得函數(shù)的解析式；
（3）過點P作PG垂直于AB于點G，利用構(gòu)建相似三角形△BPG∽△BMH，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有：一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等．注意（3）題中構(gòu)建相似三角形的輔助線的作法．