Question

如圖，拋物線y=ax²過點A（1，1），點B（m，n）在拋物線上運動，在線段AB上取一點Q，使得BQ=2QA．
（1）當點B的橫坐標m=-2時，求點Q的坐標；
（2）過Q點作x軸的垂線交拋物線于點M，在線段QM的延長線上取一點P，使得QM=2MP，求點P（x，y）的縱坐標y與橫坐標x滿足的解析式．

Answer 1

解：（1）由點A在拋物線上，得a=1，
由點B在拋物線上，
n=m²=4，得：B（-2，4）
過Q點作x軸的平行線EF，過點A、B作x軸垂線分別交EF于F、E點，
設(shè)點Q （x₁，y₁），E （-2，y₁），F(xiàn)（1，y₁），
又可證得：△QFA∽△QEB，
∴===2，EQ=2QF，EB=2AF，
EQ=x₁+2，QF=1-x₁，
∴x₁+2=2（1-x₁），x₁=0，
同理得：EB=4-y₁，AF=y₁-1，4-y₁=2 （y₁-1），y₁=2
∴Q（0，2）；

（2）由題意知：Q，P，M三點在同一條垂直于x軸的直線上，
點P（x，y），則M （x，x²），
設(shè)Q（x，y₁），
由QM=2MP得：y₁-x²=2（x²-y），y₁=3x²-2y ①
由（1）知：EQ=2QF，EB=2AF，
EQ=x-m，QF=1-x，x-m=2（1-x） ②
EB=n-y₁，AF=y₁-1，n-y₁=2 （y₁-1）③
由②得：m=3x-2
由③得：n=3y_l-2=3（3x²-2y）-2=9x²-6y-2，
又∵點B在拋物線上
∴n=m²，即：9x²-6y-2=（ 3x-2）²
解得：y=2x-1．
分析：（1）將點A（1，1）代入拋物線y=ax²，可求拋物線的解析式，根據(jù)點B在拋物線上，則n=m²=4，可得B（-2，4），過Q點作x軸的平行線EF，過點A、B作x軸垂線分別交EF于F、E點，設(shè)點Q （x₁，y₁），E （-2，y₁），F(xiàn)（1，y₁），根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得點Q的坐標；
（2）由題意知：Q，P，M三點在同一條垂直于x軸的直線上，點P（x，y），則M （x，x²），設(shè)Q（x，y₁），由QM=2MP得：y₁-x²=2（x²-y），y₁=3x²-2y ①由（1）知：EQ=2QF，EB=2AF，EQ=x-m，QF=1-x，x-m=2（1-x）②，EB=n-y₁，AF=y₁-1，n-y₁=2 （y₁-1）③，依此即可得到點P（x，y）的縱坐標y與橫坐標x滿足的解析式．
點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題涉及到利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)，方程組的求解等重點知識，同時注意輔助線的作法．