Question

8．求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|的最小值．

Answer 1

分析 觀察已知條件可以發(fā)現(xiàn)，|x-a|表示x到a的距離．要是題中式子取得最小值，則應(yīng)該找出與最小數(shù)和最大數(shù)距離相等的x的值，此時式子得出的值則為最小值．

解答 解：由已知條件可知，|x-a|表示x到a的距離，只有當(dāng)x到1的距離等于x到1997的距離時，式子取得最小值．
∴當(dāng)x=$\frac{1+1997}{2}$=999時，式子取得最小值，
此時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|=|999-1|+|999-2|+|999-3|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…|999-1996|+|999-1997|
=998+997+996+…+1+0+1+2+…+997+998
=2×（1+2+3…+997+998）
=2×$\frac{998+1}{2}×998$
=998×999
=997002．

點評 本題主要考查了絕對值的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合求最值問題，利用已知得出x=999時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|有最小值是解答此題的關(guān)鍵．