Question

19．如圖1，已知直線l，y=2x-2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，C為l在一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且AC=2$\sqrt{5}$，拋物線y=ax²+bx-8過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸的另一交點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，若拋物線y=ax²+bx-8的頂點(diǎn)為E，P為直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PD-PE|值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PD-PE|的最大值；
（3）如圖3，若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）如圖2中，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接DD′交AC于H，連接DE由此DE交CC于P，此時(shí)|PD-EP|的值最大．
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m-2），
當(dāng)y=0時(shí)，2x-2=0，解得x=1，即A（1，0），
由AC=2$\sqrt{5}$，得
（m-1）²+（2m-2）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得m=3，m=-1（舍），2m-2=4，即C（3，4），
將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-8=4}\\{a+b-8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-2x²+10x-8；

（2）配方，得
y=-2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{2}$
即E（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
當(dāng)y=0時(shí)，=-2x²+10x-8=0，解得x=1（舍）x=4，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
如圖2中，作D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接DD′交AC于H，連接DE由此DE交CC于P，此時(shí)|PD-EP|的值最大．

∵直線DD′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$可得H（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴D′（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴直線D′E的解析式為y=$\frac{7}{11}$x+$\frac{32}{11}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{11}x+\frac{32}{11}}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$可得P（$\frac{18}{5}$，$\frac{26}{5}$），
此時(shí)|PD-PE|的最大值=D′E=$\sqrt{（\frac{18}{5}-\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{26}{5}-\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{170}}{10}$．

（3）如圖1
，
當(dāng)y=0時(shí)，2x-2=0，解得x=1，即D（1，0），
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠BOD=∠MOB，
∴△BOD∽△MOB，
∴$\frac{MO}{BO}$=$\frac{BO}{OD}$，
解得MO=4，即M（-4，0），
由對(duì)角線平分，得
$\frac{{x}_{N}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{{x}_{M}+{x}_{C}}{2}$，即$\frac{{x}_{N}+0}{2}$=$\frac{-4+3}{2}$，即x_N=-1，
$\frac{{y}_{N}+{y}_{B}}{2}$=$\frac{{y}_{M}+{y}_{C}}{2}$，即$\frac{{y}_{N}+（-2）}{2}$=$\frac{0+4}{2}$，即y_N=6，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6）；
如圖2，
作CE⊥OM于E，OE=3，CE=4．
當(dāng)y=0時(shí)，2x-2=0，解得x=1，即D（1，0），
DE=OE-OD=3-1=2．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DEC=∠CEM，
∴△DEC∽△CEM，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{CE}{EM}$，
解得ME=8，即M（11，0），
由矩形的對(duì)角線平分，得
$\frac{{x}_{N}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{{x}_{M}+{x}_{C}}{2}$，即$\frac{{x}_{N}+{x}_{C}}{2}$=$\frac{{x}_{B}+{x}_{M}}{2}$，$\frac{{x}_{N}+3}{2}$=$\frac{0+11}{2}$，即x_N=8，
$\frac{{y}_{N}+{y}_{C}}{2}$=$\frac{{y}_{B}+{y}_{M}}{2}$，即$\frac{{y}_{N}+4}{2}$=$\frac{-2+0}{2}$，即y_N=-6，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-6）．
綜上所述：若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)（8，-6）或（-1，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)之間的距離得出C點(diǎn)坐標(biāo)，又利用待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是兩邊之差小于第三邊得出P是DE與AC的交點(diǎn)；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，又利用了矩形的性質(zhì)．