Question

20．在數(shù)學學習過程中，通常是利用已有的知識與經(jīng)驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，揭示研究對象的本質(zhì)特征．
比如“同底數(shù)冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數(shù)的乘方概念和乘法結(jié)合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：
2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸…⇒2^m×2ⁿ=2^m+n…⇒a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數(shù)）．
我們亦知：$\frac{2}{3}＜\frac{2+1}{3+1}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+2}{3+2}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+3}{3+3}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+4}{3+4}$…
（1）請你根據(jù)上面的材料，用字母a、b、c歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數(shù)學關(guān)系式．
（2）試用（1）中你歸納的數(shù)學關(guān)系式，解釋下面生活中的一個現(xiàn)象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知不等式可找出規(guī)律，因為3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，$\frac{2}{3}＜\frac{2+1}{3+1}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+2}{3+2}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+3}{3+3}$，$\frac{2}{3}＜\frac{2+4}{3+4}$…故a＞b＞0，c＞0，則$\frac{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$；
（2）因為$\frac{n}{m}$＜$\frac{n+k}{m+k}$，說明原來糖水中糖的質(zhì)量分數(shù)$\frac{n}{m}$小于加入k克糖后糖水中糖的質(zhì)量分數(shù)$\frac{n+k}{m+k}$，所以糖水更甜了．

解答 （1）你根據(jù)上面的材料可得：$\frac{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$．
說明：∵$\frac{a}$-$\frac{b+c}{a+c}$=$\frac{b（a+c）}{a（a+c）}$-$\frac{a（b+c）}{a（a+c）}$=$\frac{ab+bc-ab-ac}{a（a+c）}$=$\frac{bc-ac}{a（a+c）}$=$\frac{c（b-a）}{a（a+c）}$，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b-a＜0，
∴$\frac{c（b-a）}{a（a+c）}$＜0，
∴$\frac{a}$-$\frac{b+c}{a+c}$＜0，
即：$\frac{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$成立；

（2）∵原來糖水中糖的質(zhì)量分數(shù)=$\frac{n}{m}$，
加入k克糖后糖水中糖的質(zhì)量分數(shù)+$\frac{n+k}{m+k}$，
由（1）$\frac{a}$＜$\frac{b+c}{a+c}$可得$\frac{n}{m}$＜$\frac{n+k}{m+k}$，
所以糖水更甜了．

點評 本題考查了分式的混合運算，讀懂題目信息，熟練掌握并靈活運用整式的加減混合運算進行計算是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．