Question

如圖，如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，
∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為，若ABC固定不動，AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n
（1）請?jiān)趫D中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明；
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系
（如圖2），在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD²+CE²=DE²；
（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，（3）中的等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否始終成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

Answer 1

解：ABE∽DAE，ABE∽DCA       ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°      ∴∠BAE=∠CDA      又∠B=∠C=45°      ∴ABE∽DCA  （2）∵ABE∽DCA     ∴， 由依題意可知 CA=BA=1     ∴ m=      自變量n的取值范圍為 ； （3） 由BD=CE可得BE=CD，即m=n     ∵m= ∴m=n=1，     ∵OB=OC= ， BC=     ，D（-1，0）     ∴BD=OB=OD= -1=CE ，DE=2OD=2- ，     ∴BD2+CE2=2BD2=6-4          ∴ （4）成立 證明：如圖，將ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ABH的位置，     則CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°     連接HD，在EAD和HAD中     ∵AE=AH， ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD， AD=AD     ∴EAD≌HAD     ∴DH=DE  又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°      ∴BD2+HB2=DH2 即BD2+CE2=DE2