Question

（2013•梧州一模）如圖，二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．
（1）請你求出點A、B、C的坐標；
（2）求出直線BC的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積等于△ACO面積的3倍？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先令x=0求出y的值，再令y=0求出x的值，故可得出A，B，C三點坐標；
（2）設BC的解析式是y=kx+b，再把BC兩點的坐標代入即可求出k，b的值，故可得出結論；
（3）先根據(jù)AC兩點的坐標可得出AO，CO的長，故可得出△AOC的面積，同理可得出△OBC的面積，進而可得出S_△OBC=3S_△AOC，過點O作與直線BC平行的直線，則可設這條直線的解析式為y=-x+b₂，因為此直線過點O（0，0），故可得出此直線的解析式為把y=-x，代入y=-x²+2x+3即可得出x的值，故可得出結論．

解答：解：（1）∵當x=0時，y=3，
當y=0時，-x²+2x+3=0
解方程得：x₁=3，x₂=-1．
∴它們的坐標是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）設BC的解析式是：y=kx+b，則有

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

∴所求的解析式是：y=-x+3；

（3）存在點P，使△PBC的面積等于△ACO面積的3倍．
∵A（-1，0），C（0，3）得：AO=1，CO=3，
∴S_△AOC=

1

2

×AO•CO=

1

2

×1×3=

3

2

，
∵B（3，0），
∴BO=3，
∴S_△OBC=

1

2

×BO•CO=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△OBC=3S_△AOC，
顯然，在BC上方不存在點P．
過點O作與直線BC平行的直線，則可設這條直線的解析式為：y=-x+b₂
∵此直線過點O（0，0），
∴b₂=0
∴這條平行線是：y=-x．
把y=-x代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=-x，
解得：x₁=

3+ 21

2

，x₂=

3- 21

2

，
當x₁=

3+ 21

2

時，y=

-3- 21

2

，
當x₂=

3- 21

2

時，y=

-3+ 21

2

．
∴所求的P點坐標是：（

3+ 21

2

，

-3- 21

2

）和（

3- 21

2

，

-3+ 21

2

）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積公式等知識，難度適中．