Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，則從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△ABP為等腰三角形？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；………………2分

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=

 

設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，△ABP為等腰三角形．當(dāng)P在BC上時(shí)，

①BA=BP=3，即t=3時(shí)，△ABP為等腰三角形；………………3分

②BP=AP=，即t=時(shí)，△ABP為等腰三角形；………………4分

③AB=AP．過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，AE=………………5分

在Rt△ABE中，BE=………………5分

所以BP=2BE=，即t=時(shí)，△ABP為等腰三角形；………………6分

當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形

當(dāng)P在AD上時(shí)，只能BE=AP=3，所以BC+CD+DP=10，即t=10時(shí)，△ABP為等腰三角形．

答：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始經(jīng)過(guò)s或3s或s或10s時(shí)，△ABP為等腰三角形．………………8分

【解析】（1）利用AAS先證明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD，所以可證四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）利用勾股定理先求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)P在AD上三種情況，結(jié)合等腰三角形的判定和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．