Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。

（1）試說明DE=BC；
（2）試問AB與DG+FC之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由

Answer 1

解：（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AD=BC，AB∥DC
所以∠BAE=∠DEA
因為AE平分∠BAD
所以∠BAE=∠DAE
所以∠DEA=∠DAE
所以AD=DE
所以DE=BC；
（2）

AB=DG+FC
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC
所以∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射線DA方向平移，平移距離為AD，則DC與AB重合，記平移后的三角形為△ABH，則 ∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
因為∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°
所以F，B，H三點共線
所以BF+HB=BF+FC
從而FH=BC=AD=DF=AH
所以四邊形AHFD為正方形
所以∠ADF=90°，AH∥DF
把△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AH重合，∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90° 所以∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°
所以I，H，B三點共線
因為AE平分∠BAD，
所以∠BAG=∠DAG
所以∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI
即∠HAG=∠IAB
因為AH∥DF，
所以∠HAG=∠DGA
所以∠BIA=∠DGA=∠BAI
所以AB=IB
因為IB=IH+HB=DG+FC
所以AB=DG+FC。