Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

⑴求證：AB=AC；

⑵求證：DE為⊙O的切線；

⑶若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

證明：（1）連接AD；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，∴AD是BC的中垂線．∴AB=AC．.......................................... 2分

（2）連接OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC． ∴∠0DE=∠CED．

又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切線．          -----------------------------------------------------------3分

(3)∵∠BAC=60°　　AB＝AC  ∴⊿ABC為等邊三角形，

而OB=5，∴BC=AB=10  ∴CD=5

在Rt⊿CDE中，DE⊥AC    ∠C=60°　∴DE= ..................................... 3分