Question

16．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折疊，使點(diǎn)D落到點(diǎn)B處，點(diǎn)C落到點(diǎn)C′處
（1）求DE的長(zhǎng)；
（2）求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先由折疊的性質(zhì)知BE=ED，設(shè)BE=ED=x，在RT△ABE中利用勾股定理解決．
（2）由ED=EB，∠BEG=∠DEG得△BDE是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ABE中利用勾股定理計(jì)算出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到ED的長(zhǎng)，再次利用勾股定理計(jì)算出EG的長(zhǎng)，然后證明△BGF≌△DGE，繼而得到GF=EG，從而得到EF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）解：由折疊的性質(zhì)知，BE=ED設(shè)BE=ED=x，則AE=8-x，
在Rt△ABE中：AE²+AB²=BE²，
則x²+4²=（8-x）²，
解得：x=5，
∴ED=5，
（2）連接BD，交EF于點(diǎn)G，
由折疊的性質(zhì)知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
則△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（頂角的平分線是底邊上的高，是底邊上的中線），
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵BG=DG，
∴DG=$\frac{1}{2}$DB=2$\sqrt{5}$，
在Rt△EDG中：EG²+DG²=ED²，
EG=$\sqrt{E{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠EGD=90°，
∵AD∥CB，
∴∠EDG=∠GBF，
又∵BG=DG，
∴△BGF≌△DGE，
∴GF=EG=$\sqrt{5}$，
∴EF=2EG=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，利用折疊不變性是解決題目的關(guān)鍵．