Question

（2012•歷下區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：
①abc＞0；②b²-4ac＞0；③方程ax²+bx+c=0的另一個(gè)根在2和3之間；④2c＜3b；⑤a十b＞m（am+b），（m≠1的實(shí)數(shù)）
其中正確的結(jié)論有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線開(kāi)口方向得到a＜0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

b

2a

=1，即b=-2a，得到b＞0，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得到c＞0，則有abc＜0；根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0；
利用對(duì)稱(chēng)性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（3，0）之間，于是得到方程ax²+bx+c=0的另一個(gè)根在2和3之間；把x=-1代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c得到a-b+c＜0，然后利于a=-

1

2

b，可變形得到2c＜3b；利用二次函數(shù)最大值問(wèn)題得到x=1時(shí)，函數(shù)值最大，最大值為a+b+c，則a+b+c＞am²+mb+c（m≠1），整理后得到a十b＞m（am+b）．

解答：解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

b

2a

=1，即b=-2a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（-1，0）和原點(diǎn)之間，而對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（3，0）之間，
∴方程ax²+bx+c=0的另一個(gè)根在2和3之間，所以③正確；
∵x=-1時(shí)，y＜0，
∴a-b+c＜0，而a=-

1

2

b，
∴2c＜3b，所以④正確；
∵x=1時(shí)，函數(shù)值最大，最大值為a+b+c，
∴a+b+c＞am²+mb+c（m≠1），即a十b＞m（am+b），所以⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＜0，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．