Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+3的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，點C在AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運動，同時點D在線段AO上以同樣的速度從點A向點O運動，運動時間用t（單位：秒）表示．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t為何值時，△ACD與△AOB相似并直接寫出此時點C的坐標(biāo)；
（3）△ACD的面積是否有最大值？若有，此時t為何值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先容易求出A，B兩點的坐標(biāo)，然后求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分別表示AC，AD的長度，再根據(jù)相似的性質(zhì)可以列出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出點C的坐標(biāo)；
（3）用t表示△ACD的面積，然后利用二次函數(shù)求最大值．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=4；
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

32+42

=5；

（2）依題意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO，
∴

AC

AB

=

AD

AO

，
代入得：

5-t

5

=

t

4

，
解得：t=

20

9

，
若△ACD∽△AOB，

AD

AB

=

AC

AO

，

t

5

=

5-t

4

，
解得t=

25

9

，
故C（

25

9

，

11

12

）或（

20

9

，

4

3

）；

（3）∵AC=5-t，AD=t，而sinA=

OB

AB

=

3

5

，
∴AD邊上的高=

3

5

（5-t），
∴S_△ACD=

1

2

×AD×

3

5

（5-t）=

3

10

（5t-t²），
∴S_△ACD有最大值，此時t=2.5，
∵S_△ACD=

3

10

（5t-t²）=-

3

10

（t-2.5）²+

15

8

，
∴當(dāng)t=2.5時，S_△ACD有最大值．

點評：此題既考查了勾股定理的計算，也考查了相似三角形的性質(zhì)，還有利用二次函數(shù)求最大值．