Question

如圖，D為△ABC中線(xiàn)AM的中點(diǎn)，過(guò)M作AB、AC邊的垂線(xiàn)，垂足分別為P、Q，過(guò)P、Q分別作DP、DQ的垂線(xiàn)交于點(diǎn)N．
（1）求證：PN=QN；
（2）求證：MN⊥BC．

Answer 1

證明：（1）連接DN， ∵D為△ABC中線(xiàn)AM的中點(diǎn)， ∴AD=MD，MB=CM， ∵M(jìn)P⊥AB，MQ⊥AC， ∴∠APM=∠AQM=90°， ∴△APM、△AMQ是直角三角形， ∴PD=AM，QD=AM， ∴PD=QD， ∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）， ∴NP=PQ； （2）取BM、CM的中點(diǎn)S、T， 連接SP、SN、TQ、TN， ∴SP=BM=MC=TQ， ∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM =90°﹣∠B﹣∠DPA =90°﹣∠B﹣∠BAM =90°﹣∠AMC =90°﹣∠DMQ﹣∠QMT =90°﹣∠DQM﹣∠MQT =∠TQN， ∴△SPN≌△TQN， ∴SN=TN， ∵SM=TM， ∴NM⊥BC