Question

（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O．若∠A=80°，求∠BOC的度數(shù)；

（2）如圖②，△A′B′C′兩個外角（∠C′B′D、∠B′C′E）的平分線相交于點O′，∠A′=80°，求∠B′O′C′的度數(shù)；
（3）由（1）、（2），可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？設(shè)∠A=∠A′=n°，∠BOC與∠B′O′C′之間是否還具有這樣的關(guān)系？為什么？
（4）如圖③，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于P點，則∠A和∠P的數(shù)量關(guān)系是

 

．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠2+∠COB=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，經(jīng)過變形后得到∠BOC=90°+

1

2

∠A，然后把∠A=70°代入計算即可；
（2）利用角平分線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可求出∠B′C′O′=

1

2

（∠A′+∠A′B′C′），∠C′B′O′=

1

2

（∠A′+∠A′C′B′）；再利用三角形內(nèi)角和定理便可求出∠O′的度數(shù)．
（3）根據(jù)（1）、（2）可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)角平分線定義得出∠ABC=2∠PBC，∠ACE=2∠PCE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，求出∠A=2∠P，即可求出答案．

解答：解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分線OB、OC相交于O．
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∵∠1+∠2+∠COB=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠COB，

1

2

（∠ABC+∠ACB+∠A）=90°，
∴180°-∠COB+

1

2

∠A=90°，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BOC=90°+

1

2

×80°=130°；

（2）∵B′O′、C′O′為△A′B′C′兩外角∠C′B′D、∠B′C′E的平分線，∠A°=80°，
∴∠B′C′O′=

1

2

（∠A′+∠A′B′C′），∠C′B′O′=

1

2

（∠A′+∠A′C′B′）；
由三角形內(nèi)角和定理得：
∠O′=180°-∠B′C′O′-∠C′B′O′=180°-

1

2

[∠A′+（∠A′+∠A′B′C′+∠A′C′B′）]=180°-

1

2

（∠A′+180°）
=90°-

1

2

×80°=90°-40°=50°；

（3）由（1）、（2）可知，∠BOC+∠B′O′C′=180°；
設(shè)∠A=∠A′=n°，則∠BOC=90°+

1

2

∠A；∠B′O′C′=90°-

1

2

∠A′；

（4）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACE=2∠PCE，
∵∠ACE=2∠PCE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∴2∠PCE=2∠P+2∠PBC，
∴∠ACE=2∠P+∠ABC，
∴2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴∠A=2∠P．
故答案為：∠A=2∠P．

點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．