Question

如圖，拋物線y=ax² + bx + c 交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。

（1）求拋物線y= ax² + bx + c 的解析式；

（2）求△AOC和△BOC的面積比；

（3）在對稱軸上是否存在一個P點(diǎn),使△PAC的周長最小。

若存在，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）∵拋物線與x軸交于A(-1,0)、B兩點(diǎn),且對稱軸為直線x=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴可設(shè)拋物線的解析式為y= a（x+1）(x-3)

又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3)

∴a=1,∴所求拋物線的解析式為y=（x+1）(x-3)，

即y=x2-2x-3 

（2）依題意，得OA=1,OB=3,

∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB=1∶3 

（3）在拋物線y=x2-2x-3上，存在符合條件的點(diǎn)P 。

解法1：如圖，連接BC,交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC。

∵AC長為定值，∴要使△PAC的 周長最小，只需PA+PC最小。

∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），

拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小。

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3 ,將B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。

∴y=x-3 ∴當(dāng)x=1時，y=-2 .∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2） 

解法2：如圖，連接BC,交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC。設(shè)直線x=1交x軸于D

∵AC長為定值，∴要使△PAC的 周長最小，只需PA+PC最小。

∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），

拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）

∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小。

∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC �！�即  

∴DP=2

    ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）

【解析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．

（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據(jù)此求解即可．

（3）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短，可找出C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，然后連接此點(diǎn)和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn)．可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．