Question

19．如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE；
（1）試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由．
（2）當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因為CF=AE，BE=EC=BF=FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)知，對角線平分一組對角，即當(dāng)∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據(jù)直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度．

解答 解：（1）四邊形BECF是菱形．
∵EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠3=∠1，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形．

（2）當(dāng)∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，有一定難度，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法及性質(zhì)并靈活運用．