Question

7．已知：CP為圓O切線，AB為圓的割線，CP、AB交于P，求證：AP•BP=CP²．

Answer 1

分析 連接AC、BC、CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)M，連結(jié)AM．先由切線的性質(zhì)得出OC⊥PC，那么∠ACP+∠ACM=90°，由圓周角定理及直角三角形兩銳角互余得出∠M+∠ACM=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠ACP=∠M，由圓周角定理得出∠M=∠CBP，那么∠ACP=∠CBP，又∠APC=∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到AP：CP=CP：BP，即AP•BP=CP²．

解答 證明：連接AC、BC、CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)M，連結(jié)AM．
∵PC是圓O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠ACP+∠ACM=90°，
又∵CM是直徑，
∴∠M+∠ACM=90°，
∴∠ACP=∠M，
∵∠M=∠CBP，
∴∠ACP=∠CBP，
又∵∠APC=∠CPB（公共角），
∴△ACP∽△CBP，
∴AP：CP=CP：BP，
∴AP•BP=CP²．

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)際上證明了切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．