Question

某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：
（1）如圖1所示在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，求證：
①AF=AG=

1

2

AB；
②MD=ME．
（2）在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，試判斷△MDE的形狀．（直接寫答案，不需要寫證明過程）．
（3）在任意△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)MD和ME，則MD與ME有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出E、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，就可以得出FM、GM是△ABC的中位線，就可以得出∠BFM=∠BAC=∠CGM．就可以得出△DFM≌△EGM而得出結(jié)論；
（2）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）①∵△ADB、△AEC是等腰直角三角形，DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，
∴DF=AF=

1

2

AB，EG=AG=

1

2

AC，∠DFB=∠EGC=90°．
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴FM、GM是△ABC的中位線，
∴FM=

1

2

AC，GM=

1

2

AB，F(xiàn)M∥AC，GM∥AB，
∴∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠CGM，
∴∠BFM=∠CGM，
∴∠BFM+∠DFB=∠CGM+∠EGC，
∴∠DFM=∠EGM．
∵AB=AC，
∴

1

2

AB=

1

2

AC，
∴AF=AG=

1

2

AB；
DF=EG，F(xiàn)M=GM．
②在△DFM和△EGM中，

DF=EG ∠DFM=∠EGM FM=GM

∴△DFM≌△EGM（SAS）
∴MD=ME．
（2）如圖2，取BC、AB和AC的中點(diǎn)M、F、G，連接MF、DF、MG、EG．
∴MF∥AC，MF=

1

2

AC，MG∥AB，MG=

1

2

AB，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，
∴MG=AF，MF=AG，∠AFM=∠AGM，
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°，
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，

FM=GE ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵M(jìn)G∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME為等腰直角三角形．
（3）MD=ME，
理由：如圖1，取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，
∴AF=

1

2

AB，AG=

1

2

AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=

1

2

AB，EG⊥AC，EG=

1

2

AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，

FM=GE ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME；

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)、直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)及運(yùn)用，解答時根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．