Question

如圖，直線y=x+b（b＞0）分別與y軸x，軸交與點(diǎn)A，C，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MB⊥y軸于點(diǎn)B，△ABM是△AOC關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形，且△ABM與△AOC的位似比是1：3，△ABM的面積為0.5．
（1）求k的值；
（2）點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM+PN的值最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)位似比求出△ABM與△AOC的底邊的比，再根據(jù)兩三角形的高相等，求出兩三角形的面積比，從而求出S_△BOM的值，然后根據(jù)k的幾何意義求出k的值；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)作出N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出MN₁的解析式，求出直線與x軸的交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）如圖1，連接OM．
∵△ABM與△AOC的位似比是1：3，
∴

BA

AO

=

1

3

，
∵△ABM與△AOM等高，且S_△ABM=0.5，
∴S_△AOM=1.5，
∴S_△BOM=2，
∴k=4．
（2）存在．如圖2，
∵點(diǎn)N（a，1）在反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）的圖象上，
∴a=4，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，1），
∵直線y=x+b分別與y軸、x軸交于點(diǎn)A，C，
∴點(diǎn)A（0，b），點(diǎn)C（-b，0），
∴OA=OC，
∵△ABM與△AOC位似，AO=b，
∴AM=BM=

1

3

b，
∴OB=

4

3

b，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

3

b，

4

3

b）．
又∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)的圖象上，
∴

1

3

b•

4

3

b=4，
解得b₁=3，b₂=-3（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)N₁，連接MN₁，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PM+PN的值最小，
∵點(diǎn)N與點(diǎn)N₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)N₁的坐標(biāo)為（4，-1），
設(shè)直線MN₁的解析式為y=mx+n，則

m+n=4 4m+n=-1

，
解得

m=- 5 3 n= 17 3

，
∴直線MN₁的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

17

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及反比例函數(shù)k的幾何意義、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、軸對(duì)稱(chēng)---最短路徑問(wèn)題，難度較大．