Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在CA延長線上，EP⊥BC于點P，交AB于點F．
（1）求證：∠E=∠AFE；
（2）若AF=3，BF=5，求CE的長并直接寫出△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠C，再根據(jù)EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，從而得出∠D=∠BFP，再根據(jù)對頂角相等得出∠E=∠AFE；
（2）根據(jù)等角對等邊即可得出CE，然后又三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE；

（2）∵∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF=3，BF=5，
∴CA=AB=8，AE=3，
∴CE=11；∵0＜BC＜16，
∴16＜△ABC的周長＜32．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是證明∠E=∠AFE，注意等邊對等角，以及等角對等邊的使用．