Question

15．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的作直線EF⊥BD分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結BE，DF．求證：四邊形BFDE為菱形．

Answer 1

分析 根據平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形．

解答 證明：∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}\\{OD=OB}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BFDE為菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出OE=OF是解題關鍵．