Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（6，0），點C的坐標為（0，6），tan∠CBO=$\frac{1}{3}$，E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連結(jié)CE．
（1）求AC和OB的長；
（2）設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出OA、OC的長度，結(jié)合tan∠CBO=$\frac{1}{3}$，求出AC，在Rt△OAC中利用勾股定理可得出OB．
（2）AE=m，則BE=4-m，利用△BEF∽△BAC得出${（\frac{BE}{BA}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，即${（\frac{4-m}{4}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，求出△BEF的面積，再由S=S_△BCE-S_△BFE即可得出答案；
（3）結(jié)合（2）的表達式，利用配方法求函數(shù)最值即可，算出m的值后可得出點E坐標，也可判斷此時△BCE的形狀．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（6，0），點C的坐標為（0，6），
∴OA=6，OC=6，
由勾股定理得到AC=$6\sqrt{2}$，
在Rt△BOC中，tan∠CBO=$\frac{1}{3}$
∴BO=2；

（2）依題意，AE=m，則BE=4-m，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴${（\frac{BE}{BA}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，
即${（\frac{4-m}{4}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}×4×6$=12，
∴S_△BEF=$\frac{3}{4}$（4-m）²，
∴$S_{△EFC}=S_{△CBE}-S_{△BEF}=3（4-m）-\frac{3}{4}{（4-m）^2}=-\frac{3}{4}m（m-4）$，
自變量m的取值范圍是0＜m＜4．

（3）S存在最大值．
∵$S=-\frac{3}{4}m（m-4）=-\frac{3}{4}{（m-2）^2}+3$，
∴當m=2時，S有最大值，S_最大值=3，
∵AE=m=2，
∴OE=OA-AE=4，
∴點E的坐標為（4，0）．

點評 本題考查了相似形綜合題，涉及了三角函數(shù)、點的坐標與線段長度之間的轉(zhuǎn)換，解答本題要求我們熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的關(guān)系，難度較大．