Question

如圖，拋物線y=ax² + bx + c 交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。
（1）求拋物線y= ax² + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積比；
（3）在對稱軸上是否存在一個(gè)P點(diǎn),使△PAC的周長最小。
若存在，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由。

Answer 1

（1）∵拋物線與x軸交于A(-1,0)、B兩點(diǎn),且對稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴可設(shè)拋物線的解析式為y= a（x+1）(x-3)
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3)
∴a=1,∴所求拋物線的解析式為y=（x+1）(x-3)，
即y=x2-2x-3 
（2）依題意，得OA=1,OB=3,
∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB=1∶3 
（3）在拋物線y=x2-2x-3上，存在符合條件的點(diǎn)P 。
解法1：如圖，連接BC,交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC。
∵AC長為定值，∴要使△PAC的 周長最小，只需PA+PC最小。
∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），
拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小。
設(shè)直線BC的解析式為y="kx-3" ,將B（3，0）代入得 3k-3="0" ∴k=1。
∴y="x-3" ∴當(dāng)x=1時(shí)，y="-2" .∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2） 
解法2：如圖，連接BC,交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC。設(shè)直線x=1交x軸于D
∵AC長為定值，∴要使△PAC的 周長最小，只需PA+PC最小。
∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），
拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小。
∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即  
∴DP=2
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）

解析